高数 ： 极限存在准则 & 两个重要极限

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于 2021-09-16 21:00:32 发布

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本文介绍了数学分析中的极限存在准则，包括准则III和准则I'，阐述了这些准则在确定数列极限过程中的作用。同时，提到了准则III与准则I'作为夹逼准则的重要性。此外，还讨论了两个重要的极限公式，如(1+1/x)^x在x趋向于无穷大的极限等于e，以及(1+x)^1/x在x趋向于0的极限也等于e。这些概念对于理解实数系统和微积分的基础至关重要。

极限存在准则

准则 III

如果数列 {xn},{xb}\lbrace x_n \rbrace , \{ x_b \}{xn​},{xb​} 及 {zn}\{ z_n \}{zn​} 满足下列条件：

（1）从某项起， 即 ∃\exist∃ n0n_0n0​ ∈\in∈ N+N_+N+​ ， 当 n>n0n > n_0n>n0​ 时，有

yny_nyn​ ≤\leq≤ xnx_nxn​ ≤\leq≤ znz_nzn​

（2）lim⁡n→∞yn=a\lim_{n\rightarrow\infty} y_n = alimn→∞​yn​=a， lim⁡n→∞zn=a\lim_{n\rightarrow\infty}z_n = alimn→∞​zn​=a

那么数列 {xn}\lbrace x_n \rbrace{xn​} 的极限存在， 且 lim⁡n→∞xn=a\lim_{n\rightarrow\infty} x_n = alimn→∞​xn​=a

准则 I’I^’I’

如果

（1）当 xxx ∈\in∈ U0(x0,r)U^0 ( x_0, r)U0(x0​,r) 或(∣x∣\lvert x \lvert∣x∣ > MMM) 时，

g(x)g(x)g(x) ≤\leq≤ f(x)f(x)f(x) ≤\leq≤ h(x)h(x)h(x)

（2）lim⁡x→x0(x→∞)\displaystyle \lim_{x \to x_0}^{(x\rightarrow\infty)}x→x0​lim(x→∞)​ g(x)=Ag(x) = Ag(x)=A， lim⁡x→x0(x→∞)\displaystyle \lim_{x \to x_0}^{(x\rightarrow\infty)}x→x0​lim(x→∞)​ h(x)=Ah(x) = Ah(x)=A

那么 lim⁡x→x0(x→∞)\displaystyle \lim_{x \to x_0}^{(x\rightarrow\infty)}x→x0​lim(x→∞)​ g(x)=Ag(x) = Ag(x)=A 存在， 且等于 AAA

准则 III 与 准则 I’I^’I’ 称为 夹逼准则。

准则 IIIIII

单调有界数列必有极限

两个重要极限

lim⁡x→∞\displaystyle \lim_{x \to\infty}x→∞lim​ (1+1x)x=e(1+\frac{1}{x})^x = e(1+x1​)x=e

lim⁡x→0\displaystyle \lim_{x \to 0}x→0lim​ (1+x)1x=e(1+x)^\frac{1}{x} = e(1+x)x1​=e

lim⁡x→∞\displaystyle \lim_{x \to\infty}x→∞lim​ (1−1x)x=1e(1-\frac{1}{x})^x = \frac{1}{e}(1−x1​)x=e1​